Đệ quy (Recursion) là một trong những giải thuật khá quen thuộc trong lập trình, mở rộng ra là trong toán học (thường được gọi với tên khác là “quy nạp”). Có một số bài toán, buộc phải sử dụng đệ quy mới giải quyết được, chẳng hạn như duyệt cây.
Đệ quy là gì?
Một đối tượng được mô tả thông qua chính nó được gọi là mô tả đệ quy.
Một bài toán mang tính chất đệ quy khi nó có thể được phân rã thành các bài toán nhỏ hơn nhưng mang cùng tính chất với bài toán ban đầu, các bài toán nhỏ lại được phân rã thành các bài toán nhỏ hơn nữa theo cùng tính chất đó.
Trong đời sống, cũng thường xuyên thấy một số hiện tượng đệ quy, ví dụ như hai chiếc gương đặt đối diện nhau, vòng xoắn ốc (trong vòng xoắn ốc có vòng xoắn ốc nhỏ hơn).
Hàm đệ quy
Trong lập trình, một hàm được gọi là đệ quy khi nó gọi chính nó trong thân hàm.
Ví dụ:
void recusion()
{
recusion();
}Hàm đệ quy không thể gọi tới nó mãi, cần phải có một điểm dừng (còn gọi là điểm neo) tại một trường hợp đặc biệt, gọi là trường hợp suy biến (degenerate case).
* Đọc thêm bài Memory Segment để nắm được nguyên lý sâu hơn - khi một hàm được gọi, nó sẽ được đưa vào Stack, hàm đệ quy cũng vậy, mỗi lần gọi chính nó thì nó lại được đưa vào Stack, nếu như không có điểm dừng, hoặc gọi mãi mà chưa tới điểm dừng, sẽ dễ xảy ra tình trạng tràn bộ nhớ Stack.
Thành phần của một hàm đệ quy
Hàm đệ quy gồm 2 phần:
- Phần cơ sở: Điều kiện thoát khỏi đệ quy.
- Phần đệ quy: Thân hàm có chứa lời gọi đệ quy.
Thiết kế giải thuật đệ quy
Thực hiện 3 bước sau:
- Tham số hóa bài toán (xác định các tham số cần truyền và lấy ra).
- Phân tích trường hợp chung: đưa bài toán về bài toán nhỏ hơn cùng loại, dần dần tiến tới trường hợp suy biến.
- Tìm trường hợp suy biến (điểm dừng).
Ưu và nhược điểm
Đệ quy có ưu điểm là thuận lợi cho việc biểu diễn bài toán, đồng thời làm gọn chương trình. Tuy nhiên cũng có nhược điểm, đó là không tối ưu về mặt thời gian (so với sử dụng vòng lặp), gây tốn bộ nhớ và có thể tràn stack nếu không kiểm soát tốt độ sâu của đệ quy.
Một số loại đệ quy
Đệ quy tuyến tính (Linear Recursion)
Mỗi lần thực thi chỉ gọi đệ quy một lần
Một ví dụ rất quen thuộc là hàm tính giai thừa:
int factorial(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
else
return n * factorial(n - 1); // Linear Recursion
}Đệ quy nhị phân (Binary Recursion)
Mỗi lần thực thi có thể gọi đệ quy 2 lần
Ví dụ: Tính tổ hợp chập K của N bằng đệ quy:
int combine(int n, int k)
{
if (k == 0 || k == n)
return 1;
else
return combine(n - 1, k) + combine(n - 1, k - 1); // Binary Recursion
}Đệ quy lồng (Nested Recursion)
Tham số trong lời gọi đệ quy là một lời gọi đệ quy, đệ quy lồng chiếm bộ nhớ rất nhanh.
Ví dụ về hàm Ackerman
int ackerman(int m, int n)
{
if (m == 0)
return (n + 1);
else
if (n == 0)
return ackerman(m - 1, 1);
else
return ackerman(m - 1, ackerman(m, n - 1)); // Nested Recursion
}Đệ quy hỗ tương (Mutual Recursion)
Các hàm gọi đệ quy lẫn nhau
Ví dụ xét tính chẵn lẻ của một số nguyên dương bằng đệ quy.
bool isEven(unsigned int n)
{
if (n == 0)
return true;
else
return isOdd(n - 1);
}
bool isOdd(unsigned int n)
{
if (n == 1)
return true;
else
return isEven(n - 1);
}Để sử dụng đệ quy tương hỗ, cần phải khai báo function prototype vì thứ tự hiện thực hàm.
Quay lui (Backtracking)
Trong lập trình, có một chiến lược giải bài toán một cách đầy đủ nhất, đảm bảo đủ mọi trường hợp bằng phương pháp Thử và Sai (Try and Error).
Nét đặc trưng của phương pháp này là ở chỗ các bước đi đến lời giải hoàn toàn bằng cách làm thử. Nếu có một lựa chọn được chấp nhận thì ghi nhớ các thông tin cần thiết các bước thử tiếp theo. Trái lại, nếu không có một lựa chọn nào thích hợp thì làm lại bước trước, xoá bớt các ghi nhớ và quay về chu trình thử với các lựa chọn còn lại. Hành động này được gọi là quay lui (Back tracking) và các giải thuật thể hiện phương pháp này gọi là các giải thuật quay lui.
Việc quay lui để thử tất cả các tổ hợp có thể có để đạt được lời giải cuối cùng.
Bài toán điển hình là liệt kê các cấu hình, mỗi cấu hình được xây dựng bằng cách xây dựng từng phần tử, mỗi phần tử được chọn bằng cách thử tất cả các khả năng.
Để cho dễ hiểu, xét bài toán cụ thể sau:
Bài toán N-Hậu (N-Queen)
Đặt N quân hậu lên trên một bàn cờ có kích thước NxN ô, sao cho không quân hậu nào ăn được quân hậu nào. Hay nói cách khác là không có hai quân hậu bất kì nào trên cùng một hàng, một cột hoặc một đường chéo.
Sử dụng đệ quy quay lui để giải bài toán như sau:
//N-Queen Problem in C++ Program
#include <iostream>
using namespace std;
#define QUEEN_SIGN 'Q'
#define BLANK_SIGN '_'
#define N 8
// Set a Board with all Blank
void setBoardBlank(char Board[N][N])
{
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
Board[i][j] = BLANK_SIGN;
}
// Print a Board to screen
void printBoard(char Board[N][N])
{
for (int i = 0; i < N; i++)
for (int j = 0; j < N; j++)
cout << Board[i][j];
cout << endl;
}
// Check Queen if at postion [RowIndex][ColumIndex] is Safe or not
bool isQueenSafeAtPosition(char Board[N][N], int RowIndex, int ColumnIndex)
{
// Check safe at Row and Column
for (int i = 0; i < N; i++)
if (Board[RowIndex][i] == QUEEN_SIGN || Board[i][ColumnIndex] == QUEEN_SIGN)
return false;
// Check safe at first diagonal
for (int i = RowIndex, j = ColumnIndex; (i >= 0) && (j >= 0); i--, j--)
if (Board[i][j] == QUEEN_SIGN)
return false;
for (int i = RowIndex, j = ColumnIndex; (i < N) && (j < N); i++, j++)
if (Board[i][j] == QUEEN_SIGN)
return false;
// Check safe at second diagonal
for (int i = RowIndex, j = ColumnIndex; (i >= 0) && (j < N); i--, j++)
if (Board[i][j] == QUEEN_SIGN)
return false;
for (int i = RowIndex, j = ColumnIndex; (i < N) && (j >= 0); i++, j--)
if (Board[i][j] == QUEEN_SIGN)
return false;
return true;
}
// Solve N-Queen Problem, Backtracking here!
bool solveNQueenProblem(char Board[N][N], int RowIndex)
{
if (RowIndex >= N)
return true;
for (int j = 0; j < N; j++)
if (isQueenSafeAtPosition(Board, RowIndex, j) == true)
{
Board[RowIndex][j] = QUEEN_SIGN;
if (solveNQueenProblem(Board, RowIndex + 1) == true)
return true;
else
Board[RowIndex][j] = BLANK_SIGN;
}
return false;
}
// Entry Point
int main()
{
char Board[N][N];
setBoardBlank(Board);
if (solveNQueenProblem(Board, 0) == false)
cout << "Can't find any solution!" << endl;
else
printBoard(Board);
return 0;
}