STDIO
Tìm kiếm gần đây
    Nội dung
    0
    0
    Chia sẻ
    Nội dung
    0
    0
    Chia sẻ

    Tính Căn Bậc 2 Theo Phương Pháp Newton-Raphson

    Giới thiệu cách tính căn bậc 2 (square root) dựa trên phương pháp Newton-Raphson và code mẫu với C++.
    25/09/2014 25/08/2020 4 phút đọc
    Tính Căn Bậc 2 Theo Phương Pháp Newton-Raphson

    Cách tính căn bậc 2 (square root) dựa trên phương pháp Newton-Raphson (hay một số tài liệu khác chỉ gọi tắt là phương pháp Newton) mà không cần dùng thêm bất kì một thư viện toán học.

    Phương pháp Newton-Raphson

    Trong thực tế, có rất nhiều phương pháp khác nhau có thể tính được căn bậc 2 của một số. Một trong các phương pháp đó là phương pháp tính căn bậc 2 được xây dựng bởi hai nhà toán học là Isaac Newton (1642 – 1726) và Joseph Raphson (1648 – 1715).

    Gọi S là một số thực lớn hơn hay bằng 0 với n là số lần thực hiện việc tính toán (n càng lớn, cần tính càng nhiều và độ chính xác càng cao) và xn là căn bậc 2 của S sau n bước tính toán. Công thức tính căn bậc 2 theo phương pháp Newton – Raphson có dạng như sau:

    xn+1 = xn - ƒ(xn) / ƒ'(xn) = xn - (xn2 - S) / 2 * xn = 1 / 2 * (xn + S / xn)

    Khi n = 0 thì x0 sẽ có giá trị như thế nào? Để tìm được giá trị khởi đầu x0 dùng cho việc tính toán này cần sử dụng phương pháp ước lượng sơ bộ.

    Ước lượng sơ bộ

    Phương pháp này ước lượng được gần nhất căn bậc 2 của một số bất kì – mặc dù không chính xác tuyệt đối tuy nhiên ưu điểm lớn nhất của là được tính một cách dễ dàng – với số này áp dụng phương pháp đã trình bày ở trên để có được xấp xỉ gần chính xác nhất giá trị cuối cùng mong muốn.

    Tương tự như trên, khởi đầu với S là một số thực không âm. Tìm cách phân giải S thành dạng như sau:

    S = a * 102n

    Trong đó a là một số thực (1 ≤ a < 100) và n là một số nguyên dương. Khi đó căn bậc 2 của S có dạng như sau:

    √S = √a * 10n

    Hay xấp xỉ căn bậc 2 của S là:

    2 * 10n (a < 10)
    6 * 10n (a >= 10)

    Sở dĩ 2 và 6 được chọn trong trường hợp này vì dựa vào các chứng minh bằng phương pháp hình học xấp xỉ (bạn đọc có thể tham khảo thêm ở link phía cuối bài viết).

    Ví du cho trường hợp ta muốn tìm căn bậc 2 của số S = 512468. Ta phân tích ra như sau:

    512348 = 51.2348 * 104 ⇒ √512348 ≈ 6 * 102 = 600

    Số này chỉ mang tính chất sơ bộ, cần thêm các bước tính toán chi tiết để có thể có được kết quả cuối cùng.

    Áp dụng phương pháp Newton-Raphson

    Sau khi đã tìm được ước lượng sơ bộ, việc tiếp theo là áp dụng phương pháp Newton-Raphson với giá trị khởi tạo ban đầu là ước lượng sơ bộ căn bậc 2 của số cần tìm – trong trường hợp này là số S.

    xn+1 = 1 / 2 * (xn + S / xn)
    ⇒ √S ≈ lim xn
    n→∞

    Để hiểu rõ hơn, xét ví dụ tìm căn bậc 2 của số S = 795286

    x0 = 6 * 102 = 600.000
    x1 = 1 / 2 * (x0 + S / x0) = 1 / 2 (600.000 + 795286 / 600.000) = 962.738
    x2 = 1 / 2 * (x1 + S / x1) = 1 / 2 (962.738 + 795286 / 962.738) = 894.402
    x3 = 1 / 2 * (x2 + S / x2) = 1 / 2 (894.402 + 795286 / 894.402) = 891.792
    x4 = 1 / 2 * (x3 + S / x3) = 1 / 2 (891.792 + 795286 / 891.792) = 891.788
    x5 = 1 / 2 * (x4 + S / x4) = 1 / 2 (891.788 + 795286 / 891.788) = 891.788

    Cuối cùng kết quả là: 

    √795286 ≈ 891.788

    Lời kết

    Trên đây chỉ là một trong các cách tính được căn bậc 2, cũng như 3, 4, ... của một số thực. Tuy nhiên hạn chế của nó là chỉ giới hạn ở các số dương.

    Thế giới toán học vô cùng rộng lớn và huyền bí; qua bài viết này có thể giúp bạn đọc hiểu thêm một khía cạnh thú vị khác của toán học.

    Tham khảo

    • http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots - 13/9/2014
    • http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean - 13/9/2014
    0 Bình luận
    Khi bạn nhấn vào sản phẩm do chúng tôi đề xuất và mua hàng, chúng tôi sẽ nhận được hoa hồng. Điều này hỗ trợ chúng tôi có thêm kinh phí tạo nhiều nội dung hữu ích. Tìm hiểu thêm.
    STDIO

    Trang chính

    Công ty TNHH STDIO

    • 30, Trịnh Đình Thảo, Hòa Thạnh, Tân Phú, Hồ Chí Minh
      +84 28.36205514 - +84 942.111912
      developer@stdio.vn
    • 383/1 Quang Trung, Phường 10, Quận Gò Vấp, Hồ Chí Minh
      Số giấy phép ĐKKD: 0311563559 do sở Kế hoạch và Đầu Tư TPHCM cấp ngày 23/02/2012
    ©STDIO, 2013 - 2021